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一、题目描述

给定一个二叉树, 找到该树中两个指定节点的最近公共祖先。

百度百科中最近公共祖先的定义为：“对于有根树 T 的两个节点 p、q，最近公共祖先表示为一个节点 x，满足 x 是 p、q 的祖先且 x 的深度尽可能大（一个节点也可以是它自己的祖先）。”

示例 1：

输入：root = [3,5,1,6,2,0,8,null,null,7,4], p = 5, q = 1
输出：3
解释：节点 5 和节点 1 的最近公共祖先是节点 3 。

示例 2：

输入：root = [3,5,1,6,2,0,8,null,null,7,4], p = 5, q = 4
输出：5
解释：节点 5 和节点 4 的最近公共祖先是节点 5 。因为根据定义最近公共祖先节点可以为节点本身。

示例 3：

输入：root = [1,2], p = 1, q = 2
输出：1

提示：

• 树中节点数目在范围 [2, 10^5] 内。
• -10^9 <= Node.val <= 10^9
• 所有 Node.val 互不相同 。
• p != q
• p 和 q 均存在于给定的二叉树中。

二、解题思路

1. 如果当前节点为空，或者当前节点是 p 或 q 中的一个，那么返回当前节点。
2. 递归地在左子树中查找 p 和 q 的最近公共祖先。
3. 递归地在右子树中查找 p 和 q 的最近公共祖先。
4. 如果左子树和右子树中分别找到了 p 和 q，那么当前节点就是最近公共祖先。
5. 如果只在左子树中找到了 p 和 q 中的一个或两个，那么最近公共祖先一定在左子树中，返回左子树的查找结果。
6. 如果只在右子树中找到了 p 和 q 中的一个或两个，那么最近公共祖先一定在右子树中，返回右子树的查找结果。

三、具体代码

class Solution {public TreeNode lowestCommonAncestor(TreeNode root, TreeNode p, TreeNode q) {// 如果当前节点为空，或者当前节点是 p 或 q，直接返回当前节点if (root == null || root == p || root == q) {return root;}// 递归地在左子树中查找 p 和 q 的最近公共祖先TreeNode left = lowestCommonAncestor(root.left, p, q);// 递归地在右子树中查找 p 和 q 的最近公共祖先TreeNode right = lowestCommonAncestor(root.right, p, q);// 如果左子树和右子树中分别找到了 p 和 q，那么当前节点就是最近公共祖先if (left != null && right != null) {return root;}// 如果只在左子树中找到了 p 和 q，那么最近公共祖先一定在左子树中if (left != null) {return left;}// 如果只在右子树中找到了 p 和 q，那么最近公共祖先一定在右子树中return right;}
}

四、时间复杂度和空间复杂度

1. 时间复杂度

• 单次访问节点：对于树中的每个节点，我们最多只会访问它一次。在递归函数中，每个节点都会被访问一次，然后它的子节点会被递归地访问。

• 递归深度：在最坏的情况下，递归的深度会达到树的高度。在二叉树中，最坏情况是树退化成一条链，此时递归深度为 n（n 是树中节点的数量）。

因此，时间复杂度是 O(n)，其中 n 是树中节点的数量。

2. 空间复杂度

• 递归调用栈：由于递归的特性，在递归过程中，函数调用栈会保存每一层递归的信息。在最坏情况下，递归的深度会达到树的高度。

• 递归深度与空间复杂度的关系：在最坏的情况下，如果树是一条链，那么递归的深度就是 n，此时递归调用栈将占用 O(n) 的空间。

因此，空间复杂度是 O(n)，其中 n 是树中节点的数量。

综上所述：

• 时间复杂度：O(n)，因为每个节点最多被访问一次。
• 空间复杂度：O(n)，因为递归调用栈在最坏情况下可能达到 n 的深度。

五、总结知识点

• 递归：

  • 递归是一种常用的算法设计方法，它允许函数调用自身来解决问题。
  • 在这个代码中，递归用于遍历二叉树并查找两个节点的最近公共祖先。

• 二叉树遍历：

  • 代码通过递归实现了二叉树的遍历，具体是后序遍历（先访问左右子节点，再访问根节点）。
  • 遍历过程中，如果找到了 p 或 q 节点，则递归函数会返回该节点。

• 逻辑判断：

  • 代码包含了多个 if 语句，用于判断递归函数返回的节点是否为空，从而确定最近公共祖先的位置。

• 树的结构：

  • 代码操作的数据结构是二叉树，树中的每个节点包含值（val）、左子节点（left）和右子节点（right）。

• 最近公共祖先的定义：

  • 代码实现了一个基于最近公共祖先定义的算法，即对于两个节点 p 和 q，找到它们在二叉树中的最低（最深的）共同祖先。

• 边界条件处理：

  • 代码首先检查了边界条件，即当前节点是否为空或等于 p 或 q，这确保了递归的基本情况。

• 递归与回溯的结合：

  • 在递归过程中，通过回溯（递归返回）的方式，将子树中的信息传递给父节点，以便在父节点做出决策。

以上就是解决这个问题的详细步骤，希望能够为各位提供启发和帮助。